论文摘要：采用Runge–Kutta法和多尺度法对轴向运动分层复合材料薄壁圆柱壳的非线性振动特性进行了研究。首先根据层合壳理论建立轴向运动分层复合材料薄壁圆柱壳的波动方程，利用Galerkin法对方程进行离散，得到相互耦合模态方程组。然后应用Runge –Kutta法分析了不同参数条件下的幅频特性曲线，得到了系统由于固有频率接近所导致的内共振现象，以及系统呈现软特性等非线性特性。最后采用多尺度法进行了系统1:1内共振时的近似解析分析，对系统在不同参数下的振动研究表明，激振力幅值、阻尼、速度等参数对位移响应幅值、共振区间、模态间的耦合度及系统软特性程度均有影响，其结论与数值计算结果一致，并同时对解的稳定性进行了研究。

　　论文关键词：法，多尺度法，分层，内共振，稳定性

　　复合材料薄壁圆柱壳具有比强度高、比刚度大、材料性能可设计性等诸多材料优点及良好的几何特性，这些特点使其在航空、航天、船舶等领域中得到越来越广泛的应用。飞机副油箱在运动中的振动，可以看作轴向运动复合材料壳体动力学问题的典型例子，相关方面的研究在近些年受到各国学者的普遍关注。F.Moussaoui和R.Benamar对壳类结构的非线性振动问题进行了综述性的研究，指出了前人研究过程中存在的问题，对后来的研究者提出了建议。C.H.Riedel用多尺度法研究了轴向运动梁的内共振问题，并用一次近似理论判断其稳定性；陈树辉、黄建亮用多元L-P法研究了轴向运动梁的非线性振动和内共振；Argento和Scott采用摄动法对轴向载荷作用下的层合圆柱壳动力稳定性进行了研究。

　　与单一组分圆柱壳相比，复合材料因其具有各向异性、非均匀性，几何及物理非线性，动态弹性参数等特点而使问题研究变得更加复杂。本文主要研究受外部激励的悬臂复合材料薄壁圆柱壳，沿轴向作匀速运动时的内共振问题。其中，考虑了几何大变形引起的几何非线性、轴向运动产生的科氏惯性力所引起的运动学非线性、动态弹性模量以及阻尼的影响。同时，多尺度法也被引入研究轴向运动复合材料圆柱壳的内共振问题。

　　1基本方程

　　考虑轴向运动复合材料薄壁圆柱壳模型如图1（a）所示，过x轴作一纵向截面，截得圆柱壳的截面分层如图1（b）所示。其中E18#为玻璃钢纤维布，USN1000为碳素布，中间粘层为环氧树脂。

　　（a）整体示意图

　　（a）Wholeschematicdiagram

　　（b）截面分层图

　　（b）Slicemapforcross-section

　　图1轴向运动复合材料薄壁圆柱壳示意图

　　Fig.1Modelofcompositecircularcylindricalshellmovinginthex-direction

　　模型的几何和物理参数为：长度，半径，各层坐标，0，玻璃钢密度，波松比；碳素密度，波松比。层合壳的几何方程为

　　其中，下划线表示几何非线性项。该式根据Donnell’s假定，忽略了中面位移对曲率和扭率的影响。层合壳物理方程为

　　其中，在计算刚度系数时，每层复合材料的弹性模量均为动态弹性模量，是关于振动频率f的函数。

　　根据Donnell’s假定，并考虑几何及物理方程，经整理后，可得到轴向运动分层复合材料薄壁圆柱壳的波动方程

　　0

　　为外激振力，表示非线性项

　　式中和为激振力振幅和频率，和为外激振力作用位置。从方程中可以看出，由于轴向速度的影响，惯性力已经变为三项，和，分别由牵连加速度、相对加速度和科氏加速度引起。

　　采用法把非线性波动方程离散化。由文献可知，轴向模态对非线性振动特性影响较大，同时，本文研究内共振问题，故选取前两阶轴向双模态来分析复合材料圆柱壳的动力学行为。设方程的解为

　　其中，为薄壁圆柱壳的轴向振型函数，和为广义模态变量。由于本文采用了Donnell’s假定，故将环向波数取为6。将式代入方程后，两边分别对或正交化，整理可得四个关于、、和的相互耦合的模态方程组。联立求解该模态方程组（归一化处理），使每个方程只含一个二阶导数

　　其中，和是与激振力幅值、速度和阻尼系数（两阶模态的阻尼比分别为和）等参数有关的变量（见附录），。

　　2数值解

　　本文应用四阶Runge-Kutta法求解前面得到的归一化模态方程组。给定频率计算得到、、、某段时间内的稳定值，将其代人式求出定点位移，并依此画出幅频特性曲线。

　　在求解过程中，先取~和~均为零，得到零初值幅频特性曲线（见图2）。再改变位移的初值条件，得到完整的幅频特性曲线（见图3）。其中，激振力振幅，阻尼，轴向运动速度。

　　图中曲线出现了跳跃并表明了内共振现象的存在。与零初始条件相比，完整幅频特性曲线在多值区的非线性更为明显，出现了新的曲线，系统表现出明显软特性。同时，和的幅频特性曲线重合（见图4），和与此情况相同（图略），由此可得到，的关系，在下面的多尺度法求解中应用了这个关系。

　　图2零初值下的幅频特性曲线

　　Fig.2Amplitude-frequencycurvesofwithzeroinitialvalue

　　图3的幅频特性曲线

　　Fig.3Amplitude-frequencycurvesof

　　图4和幅频特性曲线的比较

　　Fig.4Differencebetweenand

　　图5为圆柱壳在不同轴向运动速度下的完整幅频特性曲线。由图可知，在第一阶固有频率附近均存在跳跃现象，随着速度减小，非线性现象更加明显，多值区越来越复杂并出现新的曲线，响应幅值也相应增大。

　　图5时的幅频特性曲线

　　Fig.5Amplitude-frequencycurvesofwith

　　图6为圆柱壳在不同激振力振幅下的完整幅频特性曲线。由图中可知，随着激振力振幅的增大，幅频特性曲线的非线性特征越来越明显，第一、二阶模态的耦合程度加强，即内共振现象越发显著。

　　图7为圆柱壳在不同阻尼下的完整幅频特性曲线。由图中可知，随着阻尼的减小，幅频特性曲线的幅值增加，共振频率的偏移程度减小，非线性特征越来越明显，内共振现象也越发显著。

　　图6时的幅频特性曲线

　　Fig.6Amplitude-frequencycurvesofwith

　　图7时的幅频特性曲线

　　Fig.7Amplitude-frequencycurvesofwith

　　为进一步证实上述幅频特性曲线中所表明的内共振现象的存在，现对相同条件下的响应曲线进行研究。图8和图9分别是，阻尼0，速度条件下，和时和响应曲线，图中的两个模态幅值交替增减，能量在它们之间相互传递，再一次证明文中所选两阶模态间存在内共振现象。

　　图8时，的响应

　　Fig.8Responseofandwith

　　图9时，的响应

　　Fig.9Responseofandwith

　　3多尺度法分析1:1内共振

　　通过前面数值计算中得到的结果，并令模态方程组中的第1、3式，第2、4式，则式可简化成两个方程，引进摄动小参数后，这两个方程可写为

　　其中，为陀螺项的系数，为阻尼项的系数。系统所对应的两阶固有频率，由方程得出，同时可得振型系数，

　　令，将其看成不同时间尺度的自变量，并将解的精度取为，则解可设为

　　将代入式，可推出和的一、二阶导数的形式为

　　其中，。

　　将式和代入和，令和同次幂的系数相等，得到0和1阶偏微分方程组

　　：

　　：

　　系统中和彼此并不独立，由数值解知两阶模态之间存在内共振，设方程的解为

　　其中，cc表示前面表达式的复共轭。第一阶固有频率接近第二阶固有频率，很可能发生1:1内共振，设

　　其中，和为频率调谐参数。把式和代入式方程组的右边并整理得

　　其中~是关于，的函数，因此设和含有如下形式特解

　　把式代入式的左边并整理，由和两边的系数相等可以列出四个方程，根据它们所组成的非齐次方程组的解的条件可以进一步得到另外四个方程，考虑到本文研究的激振力频率在第一阶固有频率的附近，并且关于小参数的展开也在第一阶固有频率附近，故选择采用其中的两个方程进行计算

　　方程是关于，的函数，设

　　其中和是系统分别以和振动时第一阶模态和第二阶模态的幅值。将式代入式并分离实部和虚部，可以得到四个方程，将它们整理化简，得到，的表达式，在这些表达式中考虑稳态响应解的条件，即

　　经化简消去和后最终得到关于和的两个方程如式所示，其中，

　　式中，0和中含有参数，及变量、的高次方项。给定不同参数，可求得对应幅频曲线，求解时应将利用转化成激振力频率。

　　图10~13给出了不同速度下第一阶模态和第二阶模态的幅频特性曲线，由于，而和在同一量级，故图中分别用和来表示第一、二阶模态的幅值。从图10~11可以看出，当时，第一、二阶模态分别有六组解，由于所取的解均为正数，故这六组解在同一相平面内。一阶模态的第5、6组解所对应的曲线中，幅值随频率增加而增大，二阶模态的对应曲线则恰恰相反。此外，两图中的第4组解也表现出相反的特性，这三组解都体现了两阶模态幅值大小的相互转换，是非线性系统内共振的特有规律。第1、2组解对应的曲线变化规律相同，虽然不能说明内共振现象，但从本文后面的稳定性研究中可以看到，这两组解大多数为不稳定解。

　　图10时的幅频特性曲线

　　Fig.10Amplitude-frequencycurvesofwith

　　图11时的幅频特性曲线

　　Fig.11Amplitude-frequencycurvesofwith

　　从图12~13中看出，在的条件下，第一、二阶模态的四组解所对应的曲线均表现出了相反的变化规律，内共振现象非常显著。从图10~13的整体比较来看，当速度由增加到时，第一、二阶模态的幅值都由六个解变为四个解，共振区域明显减小，同时，幅值减小。

　　在、、时，做出和下的、响应曲线（图略）。其形式与图8~9相同，也表现为随着频率的变化，幅值交替增减，能量在两阶模态之间相互传递，证明了内共振现象的存在。

　　图12时的幅频特性曲线

　　Fig.12Amplitude-frequencycurvesofwith

　　图13时的幅频特性曲线

　　Fig.13Amplitude-frequencycurvesofwith

　　图14给出了不同激振力幅值下的幅频特性曲线，由于对一、二阶模态的影响相似，故文中只列出了的幅频特性曲线（以下同），由图中可知，激振力的增大，使共振区扩大，振幅增加，同时，发生内共振的频率逐渐远离第一阶固有频率。当时，产生了幅值封闭曲线，说明此时非线性对幅值的增大加以限制。

　　图14,,,的幅频特性曲线

　　Fig.14Amplitude-frequencycurvesofwith

　　图15给出了不同阻尼下的幅频特性曲线，由图可知，随着阻尼的增大，振幅减小，共振区域也变小，且更快产生幅值封闭曲线，但总体来说，阻尼对近似解的影响并不显著。

　　图15,,,的幅频特性曲线

　　Fig.15Amplitude-frequencycurvesofwith,,,

　　图16给出了不同小参数下的幅频特性曲线，由图中可知，小参数对幅频特性曲线基本没有影响。

　　图16,,,时幅频特性曲线

　　Fig.16Amplitude-frequencycurvesofwith

　　考虑到解的稳定性分析的重要性，本文利用李雅普诺夫一次近似判别理论对多尺度法共振解的稳定性进行了初步研究。将式代入式并分离实部和虚部，整理化简后可以变形表示为式，其矩阵是关于的函数，把幅频特性曲线上每一点的值同时代入矩阵的特征方程，可求得对应的特征值，并运用稳定性定理判断该点的稳定性。

　　图17给出了，条件下的第一、二阶模态幅频特性曲线的稳定点和不稳定点。

　　（a）的稳定性

　　（a）Stabilityof

　　（b）的稳定性

　　（b）Stabilityof

　　图17和的稳定性

　　Fig.17Stabilityofand

　　4结论

　　本文分别用数值法（Runge–Kutta法）和近似解析法（多尺度法）对受法向激励的轴向运动分层复合材料薄壁圆柱壳的非线性振动进行了研究。通过分析得到以下结论

　　（1）材料的分层对系统非线性特性产生了本质改变，使轴向运动分层复合材料圆柱壳的非线性特性呈现明显软特性，与其它轴向运动体及非轴向运动复合材料薄壁圆柱壳的非线性呈现明显的硬特性有着很大区别。

　　（2）两种方法所得到的幅频特性曲线均能说明本文中的系统存在1:1内共振。

　　（3）数值法与多尺度法的研究结果保持一致，进一步验证了结果的可靠性，参数研究表明，激振力幅值的增大及阻尼、速度的减小会带来响应振幅增加、共振区域扩大及内共振现象更加显著。而多尺度法的小参数对幅频特性曲线影响不大。

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